Рівняння плоскої та сферичної гармонічної хвилі. Рівняння плоскої та сферичної хвиль. Основні поняття та визначення

Перш ніж розглядати хвильовий процес, дамо визначення коливального руху. Коливання - Це процес, що періодично повторюється. Приклади коливальних рухів дуже різноманітні: зміна пори року, коливання серця, дихання, заряд на обкладках конденсатора та інші.

Рівняння коливання у загальному вигляді записується як

де - амплітуда коливань,
- циклічна частота, - час, - Початкова фаза. Часто початкову фазу можна прийняти рівною нулю.

Від коливального руху можна перейти до розгляду хвильового руху. Хвиля – це процес поширення коливань у просторі з часом. Оскільки коливання поширюються у просторі з часом, то рівнянні хвилі необхідно врахувати і просторові координати, і час. Рівняння хвилі має вигляд

де А 0 – амплітуда,  – частота, t – час,  – хвильове число, z – координата.

Фізична природа хвиль дуже різноманітна. Відомі звукові, електромагнітні, гравітаційні, акустичні хвилі.

За типом коливань всі хвилі можна класифікувати на поздовжні та поперечні. Поздовжні хвилі – це хвилі, у яких частинки середовища коливаються вздовж напряму розповсюдження хвилі (рис. 3.1а). Прикладом поздовжньої хвилі є звукова хвиля.

Поперечні хвилі – це хвилі, у яких частинки середовища коливаються у поперечному напрямку щодо напряму розповсюдження (рис. 3.1б).

Електромагнітні хвилі відносяться до поперечних хвиль. Слід враховувати, що у електромагнітних хвилях відбувається коливання поля, і жодного коливання частинок середовища немає. Якщо у просторі відбувається поширення хвилі з однією частотою , то така хвиля називається монохроматичної .

Для опису поширення хвильових процесів запроваджуються такі характеристики. Аргумент косинуса (див. формулу (3.2)), тобто. вираз
, називається фазою хвилі .

Схематично поширення хвилі вздовж однієї координати показано на рис. 3.2, у разі поширення відбувається вздовж осі z.

Період - Час одного повного коливання. Період позначається буквою Т та вимірюється в секундах (с). Величина зворотна періоду, називається лінійною частотою і позначається f, Вимірюється в герцах (=Гц). Лінійна частота пов'язана із круговою частотою. Зв'язок виражається формулою

(3.3)

Якщо зафіксувати час t, з рис. 3.2 видно, що є точки, наприклад А і В, які коливаються однаково, тобто. у фазі (синфазно). Відстань між найближчими двома точками, що коливаються у фазі, називається довжиною хвилі . Позначається довжина хвилі  та вимірюється в метрах (м).

Хвильове число  та довжина хвилі  пов'язані між собою формулою

(3.4)

Хвильове число  інакше називають фазовою постійною чи постійною розповсюдження. З формули (3.4) видно, що стала поширення вимірюється в ( ). Фізичний сенс у тому, що вона показує, наскільки радіан змінюється фаза хвилі під час проходження одного метра шляху.

Для опису хвильового процесу запроваджується поняття фронт хвилі. Фронт хвилі - Це геометричне місце уявних точок поверхні, до яких дійшло збудження. Фронт хвилі інакше називають хвильовий фронт.

Рівняння, що описує хвильовий фронт плоскої хвилі, можна отримати з рівняння (3.2) у вигляді

(3.5)

Формула (3.5) є рівнянням хвильового фронту плоскої хвилі. Рівняння (3.4) показує, що хвильові фронти є нескінченними площинами, що переміщуються в просторі перпендикулярно осі z.

Швидкість переміщення фазового фронту називається фазовою швидкістю . Фазова швидкість позначається V ф і визначається формулою

(3.6)

Спочатку рівняння (3.2) містить фазу з двома знаками – негативним та позитивним. Негативний знак, тобто.
, Вказує, що фронт хвилі поширюється вздовж позитивного напряму поширення осіz. Така хвиля називається біжить, або падаючою.

Позитивний знак фази хвилі свідчить про рух фронту хвилі у напрямі, тобто. протилежному напрямку осі z. Така хвиля називається відбитою.

Надалі розглядатимемо хвилі, що біжать.

Якщо хвиля поширюється в реальному середовищі, то через теплові втрати, що відбуваються, неминуче відбувається зменшення амплітуди. Розглянемо найпростіший приклад. Нехай хвиля поширюється вздовж осі z та початкове значення амплітуди хвилі відповідає 100%, тобто. A0=100. Допустимо при проходженні одного метра шляху амплітуда хвилі зменшується на 10%. Тоді матимемо наступні значення амплітуд хвиль

Загальна закономірність зміни амплітуди має вигляд

Такі властивості має показова функція. Графічно процес можна показати як рис. 3.3.

У загальному вигляді співвідношення пропорційності запишемо як

, (3.7)

де  - постійне згасання хвилі.

Фазову постійну  та постійну згасання  можна об'єднати за допомогою введення комплексної постійної розповсюдження , тобто.

, (3.8)

де  - фазова постійна,  - постійна згасання хвилі.

Залежно від виду хвильового фронту розрізняють хвилі пласкі, сферичні, циліндричні.

Плоска хвиля - Це хвиля, що має плоский фронт хвилі. Плоскій хвилі також можна дати таке визначення. Хвиля називається плоскою однорідною, якщо векторне поле і у будь-якій точці площини перпендикулярні напряму поширення і не змінюються по фазі та амплітуді.

Рівняння плоскої хвилі

Якщо джерело, що породжує хвилю, є точковим, то фронт хвилі, що розповсюджується в необмеженому однорідному просторі, є сферою. Сферична хвиля - Це хвиля, що має сферичний фронт хвилі. Рівняння сферичної хвилі має вигляд

, (3.10)

де r – радіус-вектор, проведений з початку координат, що збігається з положенням точкового джерела, у конкретну точку простору, розташовану на відстані r.

Хвилі можуть збуджуватися за допомогою нескінченної нитки джерел, що розташовані вздовж осі z. У цьому випадку така нитка породжуватиме хвилі, фазовий фронт яких є циліндричною поверхнею.

Циліндрична хвиля - Це хвиля, що має фазовий фронт у вигляді циліндричної поверхні. Рівняння циліндричної хвилі має вигляд

, (3.11)

Формули (3.2), (3.10, 3.11) вказують на різну залежність амплітуди від відстані між джерелом хвилі та конкретною точкою простору, до якої дійшла хвиля.

Рівняння Гельмгольця

Максвелл отримав один з найважливіших результатів електродинаміки, довівши, що поширення електромагнітних процесів у просторі з часом відбувається у вигляді хвилі. Розглянемо підтвердження цього становища, тобто. доведемо хвильовий характер електромагнітного поля.

Запишемо перші два рівняння Максвелла у комплексній формі у вигляді

(3.12)

Візьмемо друге рівняння системи (3.12) та застосуємо до нього операцію ротора до лівої та правої частин. В результаті отримаємо

Позначимо
, Що являє собою постійне поширення. Таким чином

(3.14)

З іншого боку, на основі відомої тотожності у векторному аналізі можна записати

, (3.15)

де
є оператором Лапласа, який у декартовій системі координат виражається тотожністю

(3.16)

З огляду на закон Гауса, тобто.
, рівняння (3.15) запишеться у простішому вигляді

, або

(3.17)

Аналогічно, користуючись симетрією рівнянь Максвелла, можна отримати рівняння щодо вектора , тобто.

(3.18)

Рівняння виду (3.17, 3.18) називаються рівняннями Гельмгольця. У математиці доведено, що й якийсь процес описується як рівнянь Гельмгольца, це означає, що процес є хвильовим процесом. У нашому випадку робимо висновок: змінні в часі електричне та магнітне поле неминуче призводить до поширення у просторі електромагнітних хвиль.

У координатній формі рівняння Гельмгольця (3.17) записуються як

де ,,- одиничні вектори вздовж відповідних осей координат

,

,

.(3.20)

Властивості плоских хвиль при поширенні в непоглинаючих середовищах

Нехай плоска електромагнітна хвиля поширюється вздовж осі z, тоді поширення хвилі описується системою диференціальних рівнянь

(3.21)

де і - комплексні амплітуди поля,

(3.22)

Рішення системи (3.21) має вигляд

(3.23)

Якщо хвиля поширюється тільки в одному напрямку вздовж осі z, вектор спрямований вздовж осіx, то рішення системи рівнянь доцільно записати у вигляді

(3.24)

де і - Поодинокі орти вздовж осіx,y.

Якщо серед немає втрати, тобто. параметри середовища  а та  а, та
є дійсними величинами.

Перерахуємо властивості плоских електромагнітних хвиль

Для середовища вводиться поняття хвильового опору середовища

(3.25)

де ,
- амплітудні значення напруженості поля. Хвильовий опір для середовища без втрат також є реальною величиною.

Для повітря хвильовий опір становить

(3.26)

З рівняння (3.24) видно, що магнітне та електричне поле збігається по фазі. Поле плоскої хвилі являє собою хвилю, що біжить, яку записується у вигляді

(3.27)

На рис. 3.4 вектори поля і змінюються синфазно, як випливає з формули (3.27).

Вектор Пойнтінга у будь-який момент часу збігається з напрямком розповсюдження хвилі.

(3.28)

Модуль вектора Пойнтінга визначає щільність потоку потужності та вимірюється в
.

Середня щільність потоку потужності визначається

(3.29)

, (3.30)

де
- діючі значення напруги поля.

Енергія поля, що міститься в одиниці об'єму, називається щільністю енергії. Електромагнітне поле змінюється з часом, тобто. є змінним. Значення щільності енергії в цей час називається миттєвою щільністю енергії. Для електричної та магнітної складових електромагнітного поля миттєві щільності енергії відповідно рівні

Враховуючи що
, із співвідношень (3.31) та (3.32) видно, що
.

Повна щільність електромагнітної енергії визначається виразом

(3.33)

Фазова швидкість поширення електромагнітної хвилі визначається формулою

(3.34)

Довжина хвилі визначається

(3.35)

де - довжина хвилі у вакуумі (повітря), с – швидкість світла повітря, - відносна діелектрична проникність,  - відносна магнітна проникність, f– лінійна частота,  - циклічна частота, Vф – фазова швидкість,  - стала поширення.

Швидкість переміщення енергії (групова швидкість) можна визначити із формули

(3.36)

де - Вектор Пойнтінга,  - щільність енергії.

Якщо розписати і у відповідність до формул (3.28), (3.33), то отримаємо

(3.37)

Таким чином, отримаємо

(3.38)

При поширенні електромагнітної монохроматичної хвилі серед без втрат виконується рівність фазової і груповий швидкості.

Між фазовою та груповою швидкістю існує зв'язок, виражений формулою

(3.39)

Розглянемо приклад поширення електромагнітної хвилі у фторопласті, має параметри  =2, =1. Нехай напруженість електричного поля відповідає

(3.40)

Швидкість поширення хвилі в такому середовищі дорівнюватиме

Хвильовий опір фторопласту відповідає значенню

Ом (3.42)

Амплітудні значення напруженості магнітного поля набувають значення

, (3.43)

Щільність потоку енергії відповідно дорівнює

Довжина хвилі на частоті
має значення

(3.45)

Теорема Умова – Пойнтінга

Електромагнітне поле характеризується власною енергією поля, причому повна енергія визначається сумою енергій електричного та магнітного полів. Нехай електромагнітне поле займає замкнутий об'єм V, тоді можна записати

(3.46)

Енергія електромагнітного поля, у принципі, неспроможна залишатися постійної величиною. Постає питання: Які фактори впливають на зміну енергії? Встановлено, що зміна енергії всередині замкнутого обсягу впливають такі факторы:

частина енергії електромагнітного поля може перетворитися на інші види енергії, наприклад, механічну;

всередині замкнутого об'єму можуть діяти сторонні сили, які можуть збільшувати або зменшувати енергію електромагнітного поля, укладену в обсязі, що розглядається;

аналізований замкнутий обсяг V може обмінюватися енергією з оточуючими тілами за рахунок процесу випромінювання енергії.

Інтенсивність випромінювання характеризується вектором Пойнтінга . Об'єм V має замкнуту поверхню S. Зміну енергії електромагнітного поля можна як потік вектора Пойнтинга крізь замкнуту поверхню S (рис. 3.5), тобто.
, причому можливі варіанти
>0 ,
<0 ,
=0 . Зазначимо, що нормаль, проведена до поверхні
, Завжди є зовнішньою.

Нагадаємо, що
, де
-Це миттєві значення напруженості поля.

Перехід від інтеграла поверхнею
до інтегралу за обсягом V здійснено з урахуванням теореми Остроградського-Гаусса.

Знаючи, що

підставимо ці вирази у формулу (3.47). Після перетворення, отримаємо вираз у вигляді:

З формули (3.48) видно, що ліва частина виражається сумою, що складається з трьох доданків, кожне з яких розглянемо окремо.

доданок
висловлює миттєву потужність втрат , обумовлену в аналізованому замкнутому обсязі струмами провідності Іншими словами, доданок виражає теплові втрати енергії поля, укладеного у замкненому обсязі.

Другий доданок
виражає роботу сторонніх сил, виконану в одиницю часу, тобто. потужність сторонніх сил. Для такої потужності можливі значення
>0,
<0.

Якщо
>0, тобто. в обсязі V додається енергія, тоді сторонні сили можна розглядати як генератор. Якщо
<0 , тобто. обсягом V відбувається зменшення енергії, то сторонні сили грають роль навантаження.

Остання доданок для лінійного середовища можна представити у вигляді:

(3.49)

Формула (3.49) виражає швидкість зміни енергії електромагнітного поля, укладеного всередині обсягу V.

Після розгляду всіх доданків можна формулу (3.48) записати у вигляді:

Формула (3.50) виражає собою теорему Пойнтінга. Теорема Пойнтінга виражає баланс енергії всередині довільної області, де існує електромагнітне поле.

Запізнювальні потенціали

Рівняння Максвелла в комплексній формі, як відомо, мають вигляд:

(3.51)

Нехай у однорідному середовищі існують сторонні струми. Спробуємо перетворити рівняння Максвелла для такого середовища та отримати більш просте рівняння, що описує електромагнітне поле у ​​такому середовищі.

Візьмемо рівняння
.Знаючи, що характеристики і зв'язані між собою
,то можна записати
Врахуємо, що напруженість магнітного поля можна виразити за допомогою векторного електродинамічного потенціалу , що вводиться співвідношенням
тоді

(3.52)

Візьмемо друге рівняння системи Максвелла (3.51) і здійснимо перетворення:

(3.53)

Формула (3.53) виражає друге рівняння Максвелла через векторний потенціал . Формулу (3.53) можна записати у вигляді

(3.54)

В електростатиці, як відомо, виконується співвідношення:

(3.55)

де -Вектор напруженості поля,
- Скалярний електростатичний потенціал. Знак мінус вказує, що вектор спрямований з точки, що має більш високий потенціал, точку з нижчим потенціалом.

Вираз у дужках (3.54) за аналогією з формулою (3.55) можна записати у вигляді

(3.56)

де
- Скалярний електродинамічний потенціал.

Візьмемо перше рівняння Максвелла та запишемо його за допомогою електродинамічних потенціалів

У векторній алгебрі доведено тотожність:

Використовуючи тотожність (3.58), можна перше рівняння Максвелла, записане у вигляді (3.57), представити у вигляді

Наведемо подібні

Помножимо ліву та праву частини на множник (-1):

можна задати довільним чином, тому можна покласти, що

Вираз (3.60) називається лоренцевим калібруванням .

Якщо w=0 , то отримаємо кулонове калібрування
=0.

З урахуванням калібрування рівняння (3.59) можна записати

(3.61)

Рівняння (3.61) виражає собою неоднорідне хвильове рівняння векторного електродинамічного потенціалу.

Аналогічним шляхом виходячи з третього рівняння Максвелла
,можна отримати неоднорідне рівняння для скалярного електродинамічного потенціалу у вигляді:

(3.62)

Отримані неоднорідні рівняння електродинамічних потенціалів мають свої рішення

, (3.63)

де М- довільна точка М, -об'ємна щільність заряду, γ - Постійне поширення, r

(3.64)

де V- Об'єм, що займається сторонніми струмами, r– поточна відстань від кожного елемента джерела до точки М.

Рішення для векторного електродинамічного потенціалу (3.63), (3.64) називається інтегралом Кірхгофа для запізнювальних потенціалів .

Множник
можна висловити з урахуванням
у вигляді

Цей множник відповідає кінцевій швидкості поширення хвилі від джерела, причому
Т.к. швидкість поширення хвилі є кінцевою величиною, то вплив джерела, що породжує хвилі, до довільної точки М доходить із запізненням у часі. Значення часу запізнення визначається:
На рис. 3.6 показано точкове джерело U, який випромінює сферичні хвилі, що розповсюджуються зі швидкістю v в навколишньому однорідному просторі, а також довільна точка М, розташована на відстані rдо якої доходить хвиля.

На момент часу tвекторний потенціал
у точці М є функцією струмів, що протікають у джерелі Uу ранній час
Іншими словами,
залежить від струмів джерела, які протікали в ній у ранній момент

З формули (3.64) видно, що векторний електродинамічний потенціал паралельний (сонаправлений) із щільністю струму сторонніх сил; його амплітуда зменшується за законом; на великих відстанях проти розмірами випромінювача хвиля має сферичний фронт хвилі.

Враховуючи
і перше рівняння Максвелла можна визначити напруженість електричного поля:

Отримані співвідношення визначають електромагнітне поле у ​​просторі, створеному заданим розподілом сторонніх струмів

Поширення плоских електромагнітних хвиль у добре провідних середовищах

Розглянемо поширення електромагнітної хвилі у провідному середовищі. Такі середовища також називаються металоподібними. Реальна середовище є провідною, якщо щільність струмів провідності значно перевищує щільність струмів усунення, тобто.
і
, причому
, або

(3.66)

Формула (3.66) висловлює умову, за якої реальне середовище можна вважати провідною. Іншими словами, уявна частина комплексної діелектричної проникності має перевищувати дійсну частину. Формула (3.66) також показує залежність від частоти, причому, що нижча частота, то серед більш яскраво виражені властивості провідника. Розглянемо це становище з прикладу.

Так, на частоті f = 1МГц = 10 6 Гц сухий ґрунт має параметри =4, =0,01 ,. Порівняємо між собою і , тобто
. З отриманих значень видно, що 1,610 -19 >> 3,5610 -11 , тому сухий ґрунт при поширенні хвилі з частотою 1 МГц слід вважати провідною.

Для реального середовища запишемо комплексну діелектричну проникність

(3.67)

т.к. у нашому випадку
, то для провідного середовища можна записати

, (3.68)

де  – питома провідність,  – циклічна частота.

Постійне поширення , як відомо, визначається із рівнянь Гельмгольця

Таким чином, отримаємо формулу для постійного розповсюдження

(3.69)

Відомо що

(3.70)

Враховуючи тотожність (3.49), формулу (3.50) можна записати у вигляді

(3.71)

Постійне поширення виражається у вигляді

(3.72)

Порівняння дійсних та уявних частин у формулах (3.71), (3.72) призводить до рівності значень фазової постійної  та постійної згасання , тобто.

(3.73)

З формули (3.73) випишемо довжину хвилі, яку набуває поля при поширенні в добре провідному середовищі

(3.74)

де - Довжина хвилі в металі.

З отриманої формули (3.74) видно, що довжина електромагнітної хвилі, що розповсюджується в металі, значно скорочується порівняно з довжиною хвилі у просторі.

Вище сказано, що амплітуда хвилі при поширенні серед з втратами зменшується за законом
. Для характеристики процесу поширення хвилі у провідному середовищі вводиться поняття глибина поверхневого шару або глибина проникнення .

Глибина поверхневого шару - це відстань d, на якому амплітуда поверхневої хвилі зменшується в рази в порівнянні з її початковим рівнем.

(3.75)

де - Довжина хвилі в металі.

Глибину поверхневого шару можна визначити з формули

, (3.76)

де  - циклічна частота,  а - абсолютна магнітна проникність середовища,  - питома провідність середовища.

З формули (3.76) видно, що з підвищенням частоти та питомої провідності глибина поверхневого шару зменшується.

Наведемо приклад. Мідь з питомою провідністю
на частоті f = 10 ГГц ( = 3см) має глибину поверхневого шару d =
. Звідси можна зробити важливий для практики висновок: нанесення на непровідне покриття шару речовини, що добре проводить, дозволить виконати елементи пристроїв з малими тепловими втратами.

Відображення та заломлення плоскої хвилі на межі розділу середовищ

При поширенні плоскої електромагнітної хвилі в просторі, що є області з різними значеннями параметрів
і межею розділу у вигляді площини, виникають відбиті та заломлені хвилі. Інтенсивності цих хвиль визначаються через коефіцієнти відображення та заломлення.

Коефіцієнтом відображення хвилі називається відношення комплексних значень напруженостей електричного поля відображеної до падаючої хвиль на межі розділу та визначається формулою:

(3.77)

Коефіцієнтом проходження хвилі у другу середу з першої називається відношення комплексних значень напруженостей електричного поля заломленої до падаючої хвиль і визначається формулою

(3.78)

Якщо вектор Пойнтінга падаючої хвилі перпендикулярний межі розділу, то

(3.79)

де Z 1 Z 2 - характеристичний опір для відповідних середовищ.

Характеристичний опір визначається за такою формулою:

де
(3.80)

.

При похилому падінні напрямок поширення хвилі по відношенню до межі розділу задається кутом падіння. Кут падіння – кут між нормаллю до поверхні та напрямом поширення променя.

Площина падіння – це площина, що містить падаючий промінь та нормаль, відновлену в точку падіння.

З граничних умов випливає, що кути падіння та заломлення пов'язані законом Снелля:

(3.81)

де n 1 n 2 - показники заломлення відповідних середовищ.

Електромагнітні хвилі характеризуються поляризацією. розрізняють еліптичну, кругову та лінійну поляризації. У лінійній поляризації виділяють горизонтальну та вертикальну поляризацію.

Горизонтальна поляризація – поляризація, за якої вектор коливається у площині, перпендикулярній площині падіння.

Нехай на межу розділу двох середовищ падає плоска електромагнітна хвиля з горизонтальною поляризацією, як показано на рис. 3.7. Вектор Пойнтінг падаючої хвилі позначений . Т.к. хвиля має горизонтальну поляризацію, тобто. вектор напруженості електричного поля коливається в площині, перпендикулярній до площини падіння, то він позначений та на рис. 3.7 показаний у вигляді кружечка з хрестиком (направлений від нас). Відповідно вектор напруженості магнітного поля лежить у площині падіння хвилі та позначений . Вектори ,,утворюють праву трійку векторів.

Для відбитої хвилі відповідні вектори поля забезпечені індексом "від", для заломленої індексом - "пр".

При горизонтальній (перпендикулярній) поляризації знаходження коефіцієнтів відображення та проходження проводяться в такий спосіб (рис. 3.7).

На межі розділу двох середовищ виконуються граничні умови, тобто.

У разі повинні виявити тангенціальні проекції векторів, тобто. можна записати

Лінії напруженості магнітного поля спрямовані для падаючої, відбитої та заломленої хвилі перпендикулярну площину падіння. Тому слід записати

Виходячи з цього, можемо скласти на підставі граничних умов систему

Також відомо, що напруженості електричного та магнітного полів пов'язані між собою через хвильовий опір середовища Z

Тоді друге рівняння системи можна записати як

Отже, система рівнянь набула вигляду

Розділимо обидва рівняння цієї системи на амплітуду падаючої хвилі
і, враховуючи визначення коефіцієнтів заломлення (3.77) та проходження (3.78), можна записати систему у вигляді

Система має два рішення та дві невідомі величини. Така система, як відомо, можна розв'язати.

Вертикальна поляризація – поляризація, за якої вектор коливається у площині падіння.

При вертикальній (паралельній) поляризації коефіцієнти відображення та проходження виражаються наступним чином (рис. 3.8).

Для вертикальної поляризації записується аналогічна система рівнянь як і горизонтальної поляризації, але з урахуванням напрямку векторів електромагнітного поля

Таку систему рівнянь аналогічним чином можна привести до вигляду

Рішенням системи є вирази для коефіцієнтів відображення та проходження

При падінні плоских електромагнітних хвиль з паралельною поляризацією на межу розділу двох середовищ коефіцієнт відбиття може перетворюватися на нуль. Кут падіння, при якому падаюча хвиля повністю, без відображення, проникає з одного середовища в інше, називається кутом Брюстера і позначається як
.

(3.84)

(3.85)

Підкреслимо, що кут Брюстера при падінні плоскої електромагнітної хвилі на немагнітний діелектрик може існувати лише при паралельній поляризації.

Якщо плоска електромагнітна хвиля падає під довільним кутом на межу розділу двох середовищ із втратами, то відбиту та заломлену хвилі слід вважати неоднорідними, тому що площина рівних амплітуд має співпадати з кордоном розділу. Для реальних металів кут між фазовим фронтом і площиною рівних амплітуд малий, тому можна вважати, що кут заломлення дорівнює 0.

Наближені граничні умови Щукіна-Леонтовича

Дані граничні умови застосовні у разі, коли одне із середовищ є хорошим провідником. Припустимо, що плоска електромагнітна хвиля падає з повітря під кутом  на плоску межу розділу з добре провідним середовищем, яке описується комплексним показником заломлення

(3.86)

З визначення поняття добре провідного середовища випливає, що
. Застосувавши закон Снелля, можна відзначити, що кут заломлення буде дуже малим. З цього можна вважати, що заломлена хвиля входить всередину добре провідного середовища практично за напрямком нормалі за будь-якого значення кута падіння.

Використовуючи граничні умови Леонтовича, потрібно знати дотичну складову магнітного вектора. . Зазвичай приблизно вважають, що ця величина збігається з аналогічною складовою, обчисленою на поверхні ідеального провідника. Помилка, що виникає при такому наближенні, буде дуже мала, оскільки коефіцієнт відображення поверхні металів, як правило, близький до нуля.

Випромінювання електромагнітних хвиль у вільний простір

З'ясуємо, у чому полягають умови випромінювання електромагнітної енергії у вільний простір. Для цього розглянемо точковий монохроматичний випромінювач електромагнітних хвиль, поміщений на початок сферичної системи координат. Як відомо, сферична система координат визначається (r, Θ, φ), де r - радіус вектор, проведений з початку системи в точку спостереження; Θ - меридіональний кут, що відраховується від осі Z (зеніту) до радіус-вектора, проведеного в точку М; φ - азимутальний кут, що відраховується від осі Х до проекції радіус-вектора, проведеної з початку координат до точки М '(М - це проекція точки М на площину XOY). (Мал.3.9).

Точковий випромінювач знаходиться в однорідному середовищі, що має параметри

Точковий випромінювач випромінює електромагнітні хвилі у всі напрямки і будь-яка складова електромагнітного поля підпорядковується рівнянню Гельмгольця, крім точки r=0 . Можна ввести комплексну скалярну функцію Ψ, під якою розуміється будь-яка довільно взята складова поля. Тоді рівняння Гельмгольця для функції Ψ має вигляд:

(3.87)

де
- хвильове число (постійне поширення).

(3.88)

Припустимо, що функція Ψ має сферичну симетрію, тоді рівняння Гельмгольця можна записати у вигляді:

(3.89)

Рівняння (3.89) можна записати також у вигляді:

(3.90)

Рівняння (3.89) та (3.90) є тотожними між собою. Рівняння (3.90) відоме у фізиці як рівняння коливань. Таке рівняння має два рішення, які за рівності амплітуд мають вигляд:

(3.91)

(3.92)

Як очевидно з (3.91), (3.92) рішення рівняння відрізняється лише знаками. Причому, показує хвилю, що набігає від джерела, тобто. хвиля поширюється від джерела до нескінченності. Друга хвиля показує, що хвиля приходить до джерела з нескінченності. Фізично один і той же джерело не може породжувати одночасно дві хвилі: біжить і приходить з нескінченності. Тому необхідно врахувати, що хвиля фізично немає.

Приклад, що розглядається, досить простий. Але у разі випромінювання енергії системою джерел обрати правильне рішення дуже складно. Тому потрібний аналітичний вираз, що є критерієм вибору правильного рішення. Потрібен загальний критерій у аналітичному вигляді, що дозволяє вибрати однозначне фізично обумовлене рішення.

Іншими словами, потрібен такий критерій, який відрізняє функцію, що виражає собою хвилю, що біжить від джерела в нескінченність, від функції, що описує хвилю, що приходить з нескінченності в джерело випромінювання.

Таке завдання вирішено А. Зоммерфельдом. Він показав, що для хвилі, що біжить, що описується функцією ,виконується співвідношення:

(3.93)

Ця формула називається умовою випромінювання або умовою Зоммерфельда .

Розглянемо елементарний електричний випромінювач як диполя. Електричний диполь є відрізком дроту малої довжини. lв порівнянні з довгою хвилі  ( l<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Неважко показати, що зміна електричного поля в просторі навколишнього дроту, носить хвильовий характер. Для наочності розглянемо гранично спрощену модель процесу освіти та зміни електричної складової електромагнітного поля, яке випромінює провід. На рис. 3.11 показана модель процесу випромінювання електричного поля електромагнітної хвилі протягом часу, що дорівнює одному періоду

Як відомо, електричний струм обумовлений рухом електричних зарядів, а саме

або

Надалі розглядатимемо лише зміну положення на проводі позитивного та негативного зарядів. Силова лінія напруженості електричного поля починається на позитивному заряді та закінчується на негативному. На рис. 3.11 силову лінію показано пунктиром. Варто пам'ятати, що електричне поле створюється у всьому просторі, що оточує провідник, хоча на рис. 3.11 показано одну силову лінію.

Щоб по провіднику протікав змінний струм, необхідно джерело змінної ЕРС. Таке джерело включене в середину дроту. Стан процесу випромінювання електричного поля показано цифрами від 1 до 13. Кожна цифра відповідає певному часу, пов'язаному станом процесу. Момент t=1 відповідає початку процесу, тобто. ЕРС = 0. У момент t=2 утворюється змінна ЕРС, яка викликає рух зарядів, як показано на рис. 3.11. з появою зарядів, що рухаються, у дроті виникає електричне поле в просторі. з часом (t = 3÷5) заряди рухаються до кінців провідника і силова лінія охоплює дедалі більшу частину простору. силова лінія розширюється зі швидкістю світла у напрямі, перпендикулярному дроту. У час t = 6 – 8 ЕРС, пройшовши через максимальне значення, зменшується. Заряди рухаються до середини дроту.

У момент часу t = 9 закінчується напівперіод зміни ЕРС, вона зменшується до нуля. При цьому відбувається злиття набоїв, вони компенсують один одного. електричне поле у ​​разі відсутня. Силова лінія напруженості випромінюваного електричного поля замикається та продовжує віддалятися від дроту.

Далі настає другий напівперіод зміни ЕРС, процеси повторюються з урахуванням зміни полярності. На рис. 3.11 у моменти t = 10÷13 показано картину протікання процесу з урахуванням силової лінії напруженості електричного поля.

Ми розглянули процес створення замкнених силових ліній вихрового електричного поля. Але варто пам'ятати, що випромінювання електромагнітних хвиль є єдиним процесом. Електричне та магнітне поле є нерозривними взаємозумовленими складовими електромагнітного поля.

Процес випромінювання показаний на рис. 3.11 аналогічний випромінюванню електромагнітного поля симетричним електричним вібратором і широко застосовується у техніці радіозв'язку. Необхідно пам'ятати, що площина коливань вектора напруженості електричного поля є взаємно перпендикулярною площині коливань вектора напруженості магнітного поля .

Випромінювання електромагнітних хвиль обумовлено змінним процесом. Тому у формулі для заряду можна покласти постійну З=0. Для комплексної величини заряду можна записати.

(3.94)

За аналогією з електростатикою можна запровадити поняття моменту електричного диполя зі змінним струмом

(3.95)

З формули (3.95) випливає, що вектори моменту електричного диполя та направленого відрізка дроту є співспрямованими.

Слід зазначити, що реальні антени мають довжину дротів зазвичай можна порівняти з довжиною хвилі. Щоб визначити випромінювальні характеристики таких антен, провід зазвичай розбивають на окремі малі ділянки, кожен з яких розглядають як елементарний електричний диполь. результуюче поле антени знаходять шляхом підсумовування випромінюваних векторних полів, породжених окремими диполями.

Для більшості завдань, пов'язаних з хвилями, важливо знати стан коливань різних точок середовища в той чи інший час. Стани точок середовища будуть визначені, якщо відомі амплітуди та фази їх коливань. Для поперечних хвиль потрібно знати характер поляризації. Для плоскої лінійно-поляризованої хвилі досить вираз, що дозволяє визначити зсув с(х, t)із положення рівноваги будь-якої точки середовища з координатою х,будь-якої миті часу t.Такий вираз називається рівнянням хвилі.

Рис. 2.21.

Розглянемо так звану біжучу хвилю,тобто. хвилю з плоским хвильовим фронтом, що розповсюджується в якомусь одному певному напрямку (наприклад, вздовж осі х). Нехай частинки середовища, що безпосередньо примикають до джерела плоских хвиль, роблять коливання за гармонійним законом; %(0, /) = = ЛсобсоГ (рис. 2.21). На малюнку 2.21, ачерез ^(0, t)позначено зміщення частинок середовища, що лежать у перпендикулярному малюнку площини та мають у вибраній системі координат координату х= 0 на момент часу t.Початок відліку часу обрано так, щоб початкова фаза коливань, визначених через косінусоїдальну функцію, дорівнювала нулю. Ось хсумісний із променем, тобто. з напрямом поширення коливань. У цьому випадку фронт хвилі перпендикулярний до осі х,так що частинки, що лежать у цій площині, будуть коливати в одній фазі. Сам фронт хвилі у цьому середовищі переміщається вздовж осі хзі швидкістю іпоширення хвилі у цьому середовищі.

Знайдемо вираз? t)усунення частинок середовища, віддалених від джерела на відстань х. Ця відстань фронт хвилі проходить

за час Отже, коливання частинок, що лежать у площині, віддаленій від джерела на відстань х,будуть відставати за часом на величину т від коливань частинок, що безпосередньо примикають до джерела. Ці частинки (з координатою х) також здійснюватимуть гармонійні коливання. За відсутності згасання амплітуда Аколивань (у разі плоскої хвилі) нічого очікувати залежати від координати x, тобто.

Це і є шукане рівняння тугою хвилі, що біжить(Не плутати з хвильовим рівнянням, що розглядається нижче!). Рівняння, як зазначалося, дозволяє визначити зміщення % частки середовища з координатою х у момент часу t.Фаза коливань залежить

від двох змінних: від координати x частки та часу t.У цей фіксований момент часу фази коливань різних частинок будуть, взагалі кажучи, різні, але можна виділити такі частинки, коливання яких відбуватимуться в однаковій фазі (синфазно). Можна також вважати, що різниця фаз коливань цих частинок дорівнює 2пт(де т = 1, 2, 3,...). Найкоротша відстань між двома частинками хвилі, що біжить, коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі X.

Знайдемо зв'язок довжини хвилі Xз іншими величинами, що характеризують поширення коливань серед. Відповідно до введеного визначення довжини хвилі можна написати

або після скорочень Так як , то

Цей вираз дозволяє дати інше визначення довжини хвилі: Довжина хвилі є відстань, на яку встигають поширитися коливання частинок середовища за час, що дорівнює періоду коливань.

Рівняння хвилі виявляє подвійну періодичність: за координатою та за часом: ^(х, t) = Z, (x + nk, t) = l, (x, t + mT) = ​​Цх + пХ, ml),де піт -будь-які цілі числа. Можна, наприклад, фіксувати координати частинок (покласти х = const) і розглядати усунення їх як функцію часу. Або, навпаки, фіксувати час (прийняти t = const) і розглядати усунення частинок як функцію координат (миттєвий стан зсувів - миттєва фотографія хвилі). Так, перебуваючи на пристані, можна за допомогою фотоапарата в момент часу tсфотографувати морську поверхню, але можна, кинувши тріску в море (тобто зафіксувавши координату х),стежити за її коливаннями у часі. Обидва ці випадки наведені як графіків на рис. 2.21, а-в.

Рівняння хвилі (2.125) можна переписати інакше

Ставлення позначається доі називається хвильовим числом

Так як , то

Хвильове число, таким чином, показує, скільки довжин хвиль укладається у відрізку 2л одиниць довжини. Ввівши хвильове число в рівняння хвилі, отримаємо рівняння біжучої в позитивному напрямку Оххвилі в найбільш часто вживаному вигляді

Знайдемо вираз, що зв'язує різницю фаз Дер коливань двох частинок, що належать різним хвильовим поверхням Хі х 2 . Скориставшись рівнянням хвилі (2.131), запишемо:

Якщо позначити чи згідно (2.130)

Плоска хвиля, що біжить, що поширюється в довільному напрямку, описується в загальному випадку рівнянням

де г-радіус-вектор, проведений із початку координат до частки, що лежить на хвильовій поверхні; до -хвильовий вектор, рівний за модулем хвильового числа (2.130) і збігається у напрямку з нормаллю до хвильової поверхні в напрямку поширення хвилі.

Можлива також комплексна форма запису рівняння хвилі. Так, наприклад, у разі плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж осі х

а в загальному випадку плоскої хвилі довільного спрямування

Рівняння хвилі в будь-якій з перерахованих форм запису може бути отримане як розв'язання диференціального рівняння, що називається хвильовим рівнянням.Якщо ми знаємо рішення цього рівняння у формі (2.128) або (2.135) - рівняння хвилі, що біжить, то знайти саме хвильове рівняння не складає труднощів. Продиференціюємо 4(х, t) = %з (2.135) двічі по координаті та двічі часу та отримаємо

висловлюючи?, через отримані похідні та порівнюючи результати, отримаємо

Маючи на увазі співвідношення (2.129), запишемо

Це і є хвильове рівняннядля одновимірного випадку.

У загальному вигляді для?, = с(х, у, z,/) хвильове рівняння в декартових координатах виглядає так

або у більш компактному вигляді:

де Д – диференціальний оператор Лапласа

Фазовою швидкістюназивається швидкість поширення точок хвилі, що коливаються в однаковій фазі. Іншими словами – це швидкість переміщення «гребеня», «впадини», або будь-якої іншої точки хвилі, фаза якої фіксована. Як зазначалося раніше, фронт хвилі (отже, і будь-яка хвильова поверхня) переміщається вздовж осі Охзі швидкістю і.Отже, швидкість поширення коливань серед співпадає зі швидкістю переміщення даної фази коливань. Тому швидкість і,визначається співвідношенням (2.129), тобто.

прийнято називати фазовою швидкістю.

Той самий результат можна отримати, знайшовши швидкість точок середовища, що задовольняють умові сталості фази з / - fee = const. Звідси залежить залежність координати від часу(со/ - const) і швидкість переміщення цієї фази

що збігається з (2.142).

Плоска хвиля, що біжить, що поширюється в негативному напрямку осі Ох,описується рівнянням

Справді, у разі фазова швидкість негативна

Фазова швидкість у цьому середовищі може залежати від частоти коливань джерела. Залежність фазової швидкості від частоти називається дисперсією,а середовища, у яких має місце ця залежність, називаються диспергуючі середовища.Не слід думати, проте, що вираз (2.142) є зазначена залежність. Справа в тому, що без дисперсії хвильове число допрямо пропорційно

з і тому. Дисперсія має місце лише в тому випадку, коли залежить від донелінійно).

Бегуча плоска хвиля називається монохроматичної (що має одну частоту),якщо коливання у джерелі гармонійні. Монохроматичним хвиль відповідає рівняння виду (2.131).

Для монохроматичної хвилі кутова частота з і амплітуда Ане залежать від часу. Це означає, що монохроматична хвиля безмежна просторі і нескінченна у часі, тобто. є ідеалізованою модель. Будь-яка реальна хвиля, як би старанно не підтримувалося сталість частоти та амплітуди, монохроматичної не є. Реальна хвиля не триває нескінченно довго, а починається і закінчується у певні моменти часу у певному місці, і, отже, амплітуда такої хвилі є функцією часу та координати цього місця. Однак чим довший інтервал часу, протягом якого підтримуються постійними амплітуда і частота коливань, тим ближче до монохроматичної дана хвиля. Часто в практиці монохроматичної хвилею називають досить великий відрізок хвилі, в межах якого частота і амплітуда не змінюються, подібно до того, як зображують на малюнку відрізок синусоїди, і називають його синусоїдою.

на правах рукопису

Фізика

Конспект лекцій

(Частина 5. Хвилі, хвильова оптика)

Для студентів напряму 230400

«Інформаційні системи та технології»

Електронний освітній ресурс

Укладач: к.ф.-м.н., доцент В.В. Коноваленко

Протокол №1 від 04. 09. 2013 р.

Хвильові процеси

Основні поняття та визначення

Розглянемо деяке пружне середовище - тверде, рідке або газоподібне. Якщо будь-якому місці цього середовища порушити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками, коливання будуть, передаючись від однієї частинки середовища до іншої поширюватися в середовищі з деякою швидкістю . Процес поширення коливань у просторі називається хвилею .

Якщо частки у середовищі коливаються у напрямі поширення хвилі, вона називається поздовжній. Якщо коливання частинок відбуваються в площині, перпендикулярній до напряму поширення хвилі, то хвиля називається поперечної . Поперечні механічні хвилі можуть виникнути тільки в середовищі, що має ненульовий модуль зсуву. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можуть поширюватися тільки поздовжні хвилі . Відмінність між поздовжніми та поперечними хвилями найбільш добре видно на прикладі поширення коливань у пружині – див. рисунок.

Для характеристики поперечних коливань необхідно задати положення у просторі площині, що проходить через напрям коливань та напрямок поширення хвилі - площині поляризації .

Область простору, в якій коливаються всі частинки середовища, називається хвильовим полем . Кордон між хвильовим полем та рештою простору середовища називається фронтом хвилі . Інакше кажучи, фронт хвилі - геометричне місце точок, до яких коливання сягнули цього часу. У однорідному та ізотропному середовищі напрямок поширення хвилі перпендикулярнодо фронту хвилі.

Поки у середовищі існує хвиля, частки середовища роблять коливання біля своїх положень рівноваги. Нехай ці коливання є гармонічними, і період цих коливань дорівнює Т. Частинки, віддалені одна від одної на відстань

вздовж напрями поширення хвилі, роблять коливання однаковим чином, тобто. у кожний момент часу їх зміщення однакові. Відстань називається довжиною хвилі . Іншими словами, довжина хвилі є відстань, на яку поширюється хвиля за один період коливань .

Геометричне місце точок, що здійснюють коливання в одній фазі називається хвильовою поверхнею . Фронт хвилі – окремий випадок хвильової поверхні. Довжина хвилі - Мінімальневідстань між двома хвильовими поверхнями, в яких точки коливаються однаковим чином, або можна сказати, що фази їх коливань відрізняються .

Якщо хвильові поверхні є площинами, то хвиля називається плоскою , а якщо сферами – то сферичній. Плоска хвиля збуджується в суцільному однорідному та ізотропному середовищі при коливаннях нескінченної площини. Порушення сферичної можна у вигляді результату радіальних пульсацій сферичної поверхні, а також як результат дії точкового джерела,розмірами якого порівняно з відстанню до точки спостереження можна знехтувати. Оскільки будь-яке реальне джерело має кінцеві розміри, досить великій відстані від нього хвиля буде близька до сферичної. У той же час ділянка хвильової поверхні сферичної хвилі в міру зменшення його розмірів стає як завгодно близьким до ділянки хвильової поверхні плоскої хвилі.

Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується

У довільному напрямку

Отримаємо. Нехай коливання в площині, паралельній хвильовим поверхням і проходить через початок координат, мають вигляд:

У площині, що віддаляється від початку координат на відстань l, коливання будуть відставати за часом. Тому рівняння коливань у цій площині має вигляд:

З аналітичної геометрії відомо, що відстань від початку координат до деякої площини дорівнює скалярному добутку радіус-вектора певної точки площини одиничний вектор нормалі до площини: . Малюнок ілюструє це положення для двовимірного випадку. Підставимо значення lрівняння (22.13):

(22.14)

Вектор , рівний за модулем хвильового числа і спрямований за нормаллю до хвильової поверхні, називається хвильовим вектором . Рівняння плоскої хвилі можна тепер записати у вигляді:

Функція (22.15) дає відхилення від рівноваги точки з радіус-вектором в момент часу t. Для того, щоб уявити залежність від координат та часу у явному вигляді необхідно врахувати, що

. (22.16)

Тепер рівняння плоскої хвилі набуває вигляду:

Часто виявляється корисним подати рівняння хвилі в експоненційній формі . Для цього скористаємося формулою Ейлера:

де , Запишемо рівняння (22.15) у вигляді:

. (22.19)

Хвильове рівняння

Рівняння будь-якої хвилі є рішенням диференціального рівняння другого порядку, що називається хвильовим . Для того, щоб встановити вид цього рівняння, знайдемо другі похідні по кожному з аргументів рівняння плоскої хвилі (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Складемо перші три рівняння з похідними за координатами:

. (22.24)

Виразимо з рівняння (22.23): , і врахуємо, що :

(22.25)

Суму других похідних у лівій частині (22.25) представимо як результат дії оператора Лапласа на , і в остаточному вигляді представимо хвильове рівняння у вигляді:

(22.26)

Цікаво, що у хвильовому рівнянні квадратний корінь із величини, зворотної коефіцієнту при похідній за часом дає швидкість поширення хвилі.

Можна показати, що хвильове рівняння (22.26) задовольняє будь-яка функція виду:

і кожна з них єрівнянням хвилі та описує деяку хвилю.

Енергія пружної хвилі

Розглянемо серед, у якій поширюється пружна хвиля (22.10), елементарний обсяг досить малий, щоб деформацію і швидкість руху частинок у ньому можна було вважати постійними і рівними:

Внаслідок поширення в середовищі хвилі обсяг має енергію пружної деформації.

(22.38)

Відповідно до (22.35) модуль Юнга можна представити у вигляді . Тому:

. (22.39)

Розглянутий обсяг має також кінетичну енергію:

. (22.40)

Повна енергія обсягу:

А густина енергії:

, а (22.43)

Підставимо ці висловлювання в (22.42) і врахуємо, що :

Таким чином, щільність енергії різна у різних точках простору та змінюється у часі за законом квадрата синуса.

Середнє значення квадрата синуса дорівнює 1/2, отже середнє за часом значення щільності енергії у кожній точці середовища , в якій поширюється хвиля:

. (22.45)

Вираз (22.45) справедливо всім видів хвиль.

Отже, середовище, в якому поширюється хвиля, має додатковий запас енергії. Отже, хвиля переносить із собою енергію .

Х.6 Випромінювання диполя

Електричний диполь, що коливається., тобто. диполь, електричний момент якого періодично змінюється, наприклад, за гармонічним законом, є найпростішою системою, що випромінює електромагнітні хвилі. Одним з важливих прикладів коливається диполя є система, що складається з негативного заряду, який коливається поблизу позитивного заряду. Саме така ситуація реалізується при впливі електромагнітної хвилі на атом речовини, коли під дією поля хвилі електрони роблять коливання на околиці ядра атома.

Припустимо, що дипольний момент змінюється за гармонічним законом:

де – радіус-вектор негативного заряду, l- амплітуда коливання - одиничний вектор, спрямований уздовж осі диполя.

Обмежимося розглядом елементарного диполя , розміри якого малі в порівнянні з випромінюваною довжиною хвиліі розглянемо хвильову зону диполя, тобто. область простору для якої модуль радіус-вектор точки . У хвильовій зоні однорідного та ізотропного середовища фронт хвилі буде сферичним – малюнок 22.4.

Електродинамічний розрахунок показує, що вектор хвилі лежить у площині, що проходить через вісь диполя та радіус-вектор цієї точки. Амплітуди і залежать від відстані rі кута між і віссю диполя. У вакуумі

Оскільки вектор Пойнтінга, то

, (22.33)

і можна стверджувати, що найсильніше диполь випромінює у напрямках, відповідних , і діаграма спрямованості випромінювання диполя має вигляд, показаний малюнку 22.5. Діаграмою спрямованості називається графічне зображення розподілу інтенсивності випромінювання з різних напрямків у вигляді кривої побудованої так, щоб довжина відрізка променя, проведеного з диполя в деякому напрямку до точки кривої, була пропорційна інтенсивності випромінювання.

Розрахунки показують також, що потужність Р випромінювання диполя пропорційна квадрату другої похідної за часом від дипольного моменту :

Оскільки

, (22.35)

то середня потужність

виявляється пропорційною квадрату амплітуди дипольного моменту та четвертого ступеня частоти.

З іншого боку, враховуючи, що і , отримуємо, що потужність випромінювання пропорційна квадрату прискорення:

Це твердження справедливе як при коливаннях заряду, але й довільного руху заряду.

Хвильова оптика

У цьому розділі ми розглядатимемо такі світлові явища, в яких проявляється хвильова природа світла. Нагадаємо, що для світла характерний корпускулярно-хвильовий дуалізм і існують явища, які можна пояснити тільки на основі уявлення про світло, як про потік частинок. Але ці явища ми розглянемо у квантовій оптиці.

Загальні відомості про світло

Отже, вважаємо світло електромагнітною хвилею. У електромагнітній хвилі коливається і . Експериментально встановлено, що фізіологічна, фотохімічна, фотоелектрична та інші дії світла визначаються вектором світлової хвилі, тому його називають світловим. Відповідно, вважатимемо, що світлова хвиля описується рівнянням:

де - амплітуда,

- хвильове число (хвильовий вектор),

Відстань вздовж напряму розповсюдження.

Площина, в якій вагається, називається площиною коливань. Світлова хвиля розповсюджується зі швидкістю

, (2)

називається показником заломлення та характеризує відмінність швидкості світла в даному середовищі від швидкості світла у вакуумі (порожнечі).

У більшості випадків у прозорих речовин магнітна проникність, і майже завжди можна вважати, що показник заломлення визначається діелектричною проникністю середовища:

Значення nвикористовують для характеристики оптичної щільності середовища: чим більше n, тим більш оптично щільним називається середовище .

Видимий світло має у вакуумі довжини хвиль в інтервалі та частоти

Гц

Реальні приймачі світла не в змозі встежити за такими швидкоплинними процесами і реєструють усереднений у часі потік енергії . За визначенням , інтенсивністю світла називається модуль середнього за часом значення щільності потоку енергії, що переноситься світловою хвилею :

(4)

Оскільки в електромагнітній хвилі

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

I ~ A 2(8)

Променяминазиватимемо лінії, вздовж яких поширюється світлова енергія.

Вектор середнього потоку енергії завжди спрямований по дотичній до променя.. В ізотропних середовищах збігається у напрямку з нормаллю до хвильових поверхонь.

У природному світлі є хвилі з різними орієнтаціями площини коливань. Тому, незважаючи на поперечність світлових хвиль, випромінювання звичайних джерел світла не виявляє асиметрії щодо напряму розповсюдження. Ця особливість світла (природного) пояснюється наступним: результуюча світлова хвиля джерела складається з хвиль, випущених різними атомами. Кожен атом випромінює хвилю протягом секунд. За цей час у просторі утворюється цуг хвиль (Послідовність «горбів і западин») довжиною приблизно 3 метри.

Площина коливань кожного цуга є цілком визначеною. Але одночасно свої цуги випромінюють величезну кількість атомів, а площину коливань кожного цуга орієнтована незалежно від інших випадковим чином. Тому у результуючій хвилі від тіла коливання різних напрямів представлені рівною ймовірністю. Це означає, що, якщо деяким приладом досліджувати інтенсивність світла з різною орієнтацією вектора, то у природному світлі інтенсивність не залежить від орієнтації .

Вимірювання інтенсивності процес тривалий у порівнянні з періодом хвилі, і розглянуті уявлення про природу природного світла зручні в описах досить тривалих процесів.

Однак на даний момент часу в конкретній точці простору в результаті складання векторів окремих цуг утворюється певний конкретний. Внаслідок випадкових «включень» та «вимкнень» окремих атомів світлова хвиля збуджує у цій точці коливання, близьке до гармонійного, але амплітуда, частота і фаза коливань залежить від часу, причому змінюються хаотично. Так само хаотично змінюється і орієнтація площини коливань ний. Отже, коливання світлового вектора у цій точці середовища можна описати рівнянням:

(9)

Причому і є хаотично змінювані в часі функції ії. Таке уявлення про природне світло зручне, якщо розглядаються проміжки часу, порівняні з періодом світлової хвилі.

Світло, в якому напрямки коливань вектора впорядковані якимось чином називають поляризованим.

Якщо коливання світлового вектора відбуваються тільки в одній площині, що проходить через промінь, то світло називається плоско - або лінійно поляризованим. Тобто в плоско поляризованому світлі поверхня коливань має суворо фіксоване положення. Можливі інші види впорядкування, тобто види поляризації світла.

Принцип Гюйгенса

У наближенні геометричної оптики світло не повинне проникати в область геометричної тіні. Насправді світло проникає в цю область, і це явище стає тим суттєвішим, чим менше розміри перешкод. Якщо розміри отворів або щілин можна порівняти з довгою хвилі, то геометрична оптика не застосовується.

Якісно поведінка світла за перешкодою пояснюється принципом Гюйгенса, який дозволяє побудувати фронт хвилі в момент за відомим становищем у момент .

Згідно з принципом Гюйгенса, кожна точка, до якої доходить хвильовий рух, стає точковим джерелом вторинних хвиль. Огинає по фронтах вторинних хвиль дає становище фронту хвилі.

Інтерференція світла

Нехай у певній точці середовища дві хвилі (плоско поляризовані) збуджують два коливання однакової частоти та однакового напрямку:

і . (24.14)

Амплітуда результуючого коливання визначається виразом:

У некогерентних хвиль змінюється випадково і значення рівноймовірні. Тому і з (24.15) випливає:

6 Якщо ж хвилі когерентні і , то

Але залежить від , - Довжини шляху від джерел хвиль до цієї точки і по-різному для різних точок середовища. Отже, при накладенні когерентних хвиль відбувається перерозподіл світлового потоку у просторі, у результаті одних точках середовища інтенсивність світла збільшується, , а інших – зменшується - . Це явище називається інтерференцією.

Відсутність інтерференції у побуті під час використання кількох джерел світла пояснюється їх некогерентністю. Окремі атоми випромінюють імпульсами протягом c та довжина цуга ≈ 3метри. У нового цуга як орієнтація площині поляризації випадкова, а й фаза також непередбачувана.

Реально когерентні хвилі одержують шляхом поділу випромінювання одного джерела на дві частини. При накладанні елементів можна спостерігати інтерференцію. Але при цьому розносити оптичних довжин не має бути порядку довжини цуга. Інакше інтерференції нічого очікувати, т.к. накладаються різні цуги.

Нехай поділ відбувається у точці O, а накладення – у точці Р. P порушуються коливання.

і (24.17)

Швидкість поширення хвиль у відповідних середовищах.

Розносити фаз у точці Р:

де - Довжина хвилі світла у вакуумі.

Величина, тобто. рівна різниці оптичних довжин шляхів між розглянутими точками називається оптичною різницею ходу.

то , в (24.16) дорівнює одиниці, і інтенсивність світла буде максимальною.

(24.20)

то , Коливання в точці відбуваються в протифазі, а значить інтенсивність світла мінімальна.

КОГЕРЕНТНІСТЬ

Когерентність –узгоджене перебіг двох або кількох хвильових процесів. Абсолютної узгодженості ніколи не буває, тому можна говорити про різний рівень когерентності.

Розрізняють тимчасову та просторову когерентність.

Тимчасова когерентність

Рівняння реальних хвиль

Ми розглянули інтерференцію хвиль, що описуються рівняннями виду:

(1)

Однак такі хвилі є математичною абстракцією, оскільки хвиля, що описується (1), має бути нескінченною у часі та просторі. Тільки цьому випадку величини може бути певними константами.

Реальна хвиля, що утворюється в результаті накладання цугів від різних атомів, містить у собі складові, частоти яких лежать у кінцевому діапазоні частот (відповідно хвильові вектори), а і a відчувають безперервні хаотичні зміни. Коливання, що збуджуються в деякій точці, що накладаються реальнимихвилями, можна описати виразом:

і (2)

Причому хаотичні зміни функцій від часу (2) є незалежними.

Для простоти аналізу покладемо амплітуди хвиль постійними та однаковими (експериментально ця умова реалізується досить просто):

Зміни частоти та фази можна звести до змін тільки частоти або фази. Справді, припустимо, негармонійність функцій (2) обумовлена ​​стрибками фази. Але, за доведеною в математиці теоремі Фур'є, будь-яку негармонічну функцію можна як суми гармонійних складових, частоти яких у деяких . У разі сума перетворюється на інтеграл: будь-яка кінцева та інтегрована функція може бути представлена ​​інтегралом Фур'є:

, (3)

де є амплітуда гармонійної складової частотианалітично визначається співвідношенням:

(4)

Отже, негармонійна внаслідок зміни фази функція уявна у вигляді суперпозиції гармонічних складових з частотами в деякому .

З іншого боку, функцію зі змінною частотою та фазою можна звести до функції зі змінною тільки фазою:

Тому для приборкання подальшого аналізу вважатимемо:

тобто реалізуємо фазовий підхіддо поняття «Тимчасова когерентність».

Смуги рівного нахилу

Нехай тонка плоскопаралельна пластинка висвітлюється розсіяним монохроматичнимсвітлом. Розташуємо паралельно платівці збираючу лінзу, у її фокальній площині – екран. У розсіяному світлі є промені найрізноманітніших напрямків. Промені, що падають під кутом, дають по 2 відбиті, які зберуться в точці. Це справедливо для всіх променів, що падають на поверхню пластинки під даним кутом, у всіх точках пластинки. Лінза забезпечує зведення всіх таких променів в одну точку, оскільки паралельні промені, що падають на лінзу під певним кутом, збираються нею в одній точці фокальної площини, тобто. на екрані. У точці О птична вісь лінзи перетинає екран. У цій точці збираються промені, що йдуть паралельно до оптичної осі.

Промені, що падають під кутом , але не в площині малюнка, а в інших площинах, зберуться в точках, розташованих на такій відстані від точки , як і точка . В результаті інтерференції цих променів на деякій відстані від точки утворюється коло з певною інтенсивністю падаючого світла. Промені, що падають під іншим кутом, утворюють на екрані коло з іншою освітленістю, яка залежить від їхньої оптичної різниці ходу. В результаті на екрані утворюються темні і світлі смуги, що чергуються, у формі кіл. Кожна з кіл утворена променями, що падають під певним кутом, і вони називаються смугами рівного нахилу. Локалізовані ці смуги у нескінченності.

Роль лінзи може виконувати кришталик, а екрану – сітківка ока. При цьому око має бути акомодоване на нескінченність. У білому світлі виходять різнокольорові смуги.

Смуги рівної товщини

Візьмемо платівку як клина. Нехай на неї падає паралельний пучок світла. Розглянемо промені, що відбилися від верхньої та нижньої граней пластинки. Якщо ці промені звести лінзою в точці, то вони будуть інтерферувати. При невеликому вугіллі між гранями пластинки, різницю ходу променів можна обчислювати за формою
ле для плоскопаралельної платівки. Промені променя, що утворилися від падіння, в деяку іншу точку пластинки зберуться лінзою в точці. Різниця їх ходу визначиться завтовшки пластинки у відповідному місці. Можна довести, що це точки типу Р лежать у одній площині, що проходить через вершину клина.

Якщо розмістити екран так, щоб він був пов'язаний з поверхнею, в якій лежать точки P, Р 1 Р 2, то на ньому виникне система світлих і темних смуг, кожна з яких утворена за рахунок відбиття від пластинки в місцях певної товщини. Тому в даному випадку смуги називаються смугами рівної товщини.

При спостереженні у білому світлі смуги будуть забарвлені. Локалізовані смуги рівної товщини поблизу поверхні платівки. При нормальному падінні світла – на поверхні.

У реальних умовах, при спостереженні фарбування мильних та масляних плівок спостерігається смуги змішаного типу.

Дифракція світла.

27.1. Дифракція світла

Дифракцієюназиваютьсукупність явищ, що спостерігаються у середовищі з різкими оптичними неоднорідностями та пов'язані з відхиленнями у поширенні світла від законів геометричної оптики .

Для спостереження дифракції по дорозі світлової хвилі від деякого джерела поміщають непрозору перешкоду, що закриває частину хвильової поверхні хвилі, випущеної джерелом. Дифракційну картину, що виникає, спостерігають на екрані, розташованому на продовженні променів.

Розрізняють два види дифракції. Якщо промені, що йдуть від джерела і від перешкоди в точку спостереження, можна вважати майже паралельними, то кажуть, що спостерігаєтьсядифракція Фраунгофера, або дифракція у паралельних пучках. Якщо умови дифракції Фраунгофера не виконуються,говорять про дифракцію Френеля.

Необхідно чітко уявляти, що між інтерференцією та дифракцією немає принципової фізичної відмінності. Обидва явища обумовлені перерозподілом енергії когерентних світлових хвиль, що накладаються. Зазвичай під час розгляду кінцевого числадискретних джерел світла, то говорять проінтерференції . Якщо розглядається накладання хвиль відбезперервно розподілених у просторі когерентних джерел , то говорять продифракції .

27.2. Принцип Гюйгенса – Френеля

Принцип Гюйгенса дозволяє в принципі пояснити проникнення світла в область геометричної тіні, проте нічого не говорить про інтенсивність хвиль, що розповсюджуються у різних напрямках. Френель доповнив принцип Гюйгенса вказівкою те що слід розраховувати інтенсивність випромінювання від елемента хвильової поверхні у різних напрямах, і навіть вказівкою те що, що вторинні хвилі є когерентними, і з розрахунку інтенсивності світла у певній точці необхідно враховувати інтерференцію вторинних хвиль. .

Встановимо зв'язок між усуненням коливається частинки середовища (точки) від положення рівноваги і часом, відрахованим від моменту початку коливання джерела, що знаходиться на відстані хвід «нашої» частки на початку координат.

Нехай коливання джерела Sгармонійні, тобто. описуються рівнянням ξ (t)= A sin ωt. З часом усі частинки середовища також будуть здійснювати синусоїдальні коливання з тією самою частотою та амплітудою, але з різними фазами. У середовищі виникне гармонійна хвиля, що біжить.

Частка середовища, що знаходиться на осі ОХна відстані хвід джерела S(рис. 1.2), почне коливатись пізніше, ніж джерело, на час, необхідний, щоб хвиля, що поширюється від джерела зі швидкістю V, подолала відстань хдо частки. Очевидно, якщо джерело коливається вже протягом часу t, то частка середовища коливається тільки протягом часу ( t – t) , де t – час поширення коливань від джерела до частки.

Тоді рівняння коливання для цієї частки буде

ξ (x,t)=A sinω( t-τ),

але t =x/V, де V– модуль швидкості поширення хвилі. Тоді

ξ (x,t)=A sinω( t-x/V)

- Рівняння хвилі.

З урахуванням того, що і , рівняння можна надати вигляду

ξ (x,t)=A sin2 ( t/T-x/λ) = A sin2 (ν t -x/λ) = A sin (ω t -2πx/λ) = A sin (ω t -kx),(1.1)

де k = 2p/ l– хвильове число. Тут (1.1) – рівняння плоскої гармонійної монохроматичної хвилі (рис. 1.3), що поширюється у напрямку осі ОХ. Графік хвилі зовні схожий графік гармонійного коливання, але сутнісно вони різні.

Графік коливання – залежність усунення цієї частки від часу. Графік хвилі – зміщення всіх частинок середовища на даний момент часу на всій відстані від джерела коливань до хвильового фронту. Графік хвилі є як би миттєвою фотографією хвилі.

Рівняння хвилі, що біжить, що поширюється в довільному напрямку, має вигляд:

ξ (x,y,z,t) = A sin = A sin( ωt – k x x – k y y – k z z), (1.2)

де ξ – миттєве зміщення елемента середовища (точки), що коливається, з координатами x, y, z; А– амплітуда усунення; ω - Кругова частота коливань;

– хвильовий вектор, рівний ( – одиничний вектор, що вказує напрямок поширення хвилі); ; - орти;

λ – довжина хвилі (рис. 1.3), тобто. відстань, на яку поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища; – радіус-вектор, проведений у розглянуту точку, ;

– фаза хвилі, де .

Тут – кути, складені хвильовим вектором із відповідними осями координат.

Якщо хвиля поширюється серед, не поглащающей енергію, то амплітуда хвилі не змінюється, тобто. А= const .

Швидкість розповсюдження хвильового руху є швидкістю розповсюдження фази хвилі (фазова швидкість). У однорідному середовищі швидкість хвилі стала. Якщо фазова швидкість хвилі в середовищі залежить від частоти, то таке явище називається дисперсією хвиль, а середовище – дисперсуючим середовищем.

При переході з одного середовища до іншого може змінюватися швидкість поширення хвиль, оскільки змінюються пружні властивості середовища, проте частота коливань, як показує досвід, залишається незмінною. Це означає що при переході з одного середовища до іншого змінюватиметься довжина хвилі l.

Якщо ми порушили коливання у будь-якій точці середовища, то коливання передадуться всім оточуючим її точкам, тобто. коливатиметься сукупність частинок, ув'язнених у певному обсязі. Поширюючись від джерела коливань хвильовий процес охоплює дедалі нові частини простору. Геометричне місце точок, яких доходять коливання до певного моменту часу t, називається фронтом хвилі.

Таким чином, фронт хвилі є тією поверхнею, яка відокремлює частину простору, вже залучену до хвильового процесу, від області, в якій коливання ще не виникли. Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильові поверхні можуть бути різної форми. Найпростіші мають форму сфери чи площині. Хвилі, що мають такі поверхні, називаються відповідно сферичними або плоскими.

Часто при розв'язанні задач про поширення хвиль треба будувати хвильовий фронт для певного моменту часу за хвильовим фронтом, заданим для початкового моменту часу. Це можна зробити, використовуючи принцип Гюйгенса , Суть якого в наступному.

Нехай хвильовий фронт, що переміщається в однорідному середовищі, займає в даний момент положення 1 (рис. 1.4). Потрібно знайти його положення через проміжок часу D t.

Відповідно до принципу Гюйгенса, кожна точка середовища, до якої дійшла хвиля, сама стає джерелом вторинних хвиль (Перше положення принципу Гюйгенса).

Це означає, що з неї, як із центру, починає поширюватися сферична хвиля. Щоб побудувати вторинні хвилі навколо кожної точки вихідного фронту опишемо сфери радіусом D x = V D t, де V -швидкість хвилі . На рис. 1.4 показані такі галузі. Тут кружечки – перерізи сферичних поверхонь площиною креслення.

Вторинні хвилі взаємно гасяться у всіх напрямках, крім напрямків вихідного фронту(друге положення принципу Гюйгенса), тобто, коливання зберігаються тільки на зовнішній загальній вторинних хвиль. Побудувавши цю огинаючу, отримаємо вихідне положення 2 хвильового фронту (штрихова лінія). Положення 1 та 2 хвильового фронту

− у нашому випадку площини.

Принцип Гюйгенса застосовний і до неоднорідного середовища. У цьому випадку значення V,а, отже, і D хнеоднакові у різних напрямах.

Оскільки проходження хвилі супроводжується коливанням частинок середовища, разом із хвилею переміщається у просторі й енергія коливань.

Ті, що біжать хвилями називаються хвилі, які переносять у просторі енергію та імпульс. Перенесення енергії хвилями характеризується Вектор щільності потоку енергії. Напрямок цього вектора збігається з напрямком перенесення енергії, яке модуль називається інтенсивністю хвилі (або щільністю потоку енергії) і є відношенням енергії W, що переноситься хвилею крізь площу S┴ , перпендикулярне променю, до тривалості часу перенесення ∆tта розміру площі:

I = W/(∆t∙S ┴),

звідки чисельно I=W, якщо ∆t=1 і S┴ =1. Одиниця інтенсивності: ват на метр у квадраті (Вт/м 2 ).

Отримаємо вираз інтенсивності хвилі. При концентрації n 0 частинок середовища, кожна з яких має масу m, об'ємна щільність w 0 енергії складається з кінетичної енергії руху частинок середовища та потенційної енергії, що є енергією деформованого обсягу. Об'ємна щільність енергії визначається виразом:

w 0 = n 0 mw 2 A 2 / 2= rw 2 A 2 / 2,

де r =n 0 m. Детальний висновок виразу для об'ємної щільності енергії пружних хвиль наведено у навчальному посібнику. Очевидно, за 1 зкрізь майданчик в 1 м 2 переноситься енергія, що міститься в об'ємі прямокутного паралелепіпеда з основою 1 м 2 і заввишки, чисельно рівної швидкості V(Рис. 1.5) , отже інтенсивність хвилі

I = w 0 V = rVw 2 A 2 / 2. (1.3)

Таким чином, інтенсивність хвилі пропорційна щільності середовища, швидкості, квадрату кругової частоти та квадрату амплітуди хвилі .

Вектор , модуль якого дорівнює інтенсивності хвилі, а напрямок збігається з напрямком розповсюдження хвилі (і перенесення енергії) визначається виразом.

При описі хвильового процесу потрібно знайти амплітуди та фази коливального руху в різних точках середовища та зміну цих величин з часом. Це завдання може бути вирішена в тому випадку, якщо відомо, за яким законом коливається і як взаємодіє із середовищем тіло, що спричинило хвильовий процес. Однак у багатьох випадках не суттєво, яким тілом збуджена дана хвиля, а вирішується просте завдання. Заданостан коливального руху в деяких точках середовища в певний момент часу та потрібно визначитистан коливального руху на інших точках середовища.

Для прикладу розглянемо розв'язання такого завдання в простому, але водночас важливому випадку поширення в середовищі плоскої або сферичної гармонійної хвилі. Позначимо величину, що коливається через u. Цією величиною можуть бути: усунення частинок середовища щодо їх положення рівноваги, відхилення тиску в даному місці середовища від рівноважного значення і т.д. Тоді завдання полягатиме у відшуканні так званого рівняння хвилі - Вирази, яке задає коливається величину uяк функцію координат точок середовища x, y, zта часу t:

u = u(x, y, z, t). (2.1)

Нехай для простоти u – це зміщення точок у пружному середовищі, коли у ній поширюється пласка хвиля, а коливання точок мають гармонійний характер. Крім того, направимо осі координат так, щоб вісь 0хзбіглася з напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні (родина площин) будуть перпендикулярними до осі. 0х(рис. 7), і оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, зсув uбуде залежати тільки від хі t: u = u(x, t). Для гармонійних коливань точок, що лежать у площині х= 0 (рис. 9), справедливе рівняння:

u(0, t) = A cos ( ωt + α ) (2.2)

Знайдемо вид коливань точок площини, що відповідає довільному значенню х. Для того, щоб пройти шлях від площини х= 0 до цієї площини, хвилі потрібен час τ = х/с (з- Швидкість поширення хвилі). Отже, коливання частинок, що лежать у площині х, матимуть вигляд:

Отже, рівняння плоскої хвилі (і поздовжньої, і поперечної), що розповсюджується в напрямку осі 0х, виглядає так:

(2.3)

Величина Ає амплітуду хвилі. Початкова фаза хвилі α визначається вибором початків відліку хі t.

Зафіксуємо будь-яке значення фази, що стоїть у квадратних дужках рівняння (2.3), поклавши

(2.4)

Продиференціюємо цю рівність у часі з огляду на те, що циклічна частота ω та початкова фаза α є постійними:

Таким чином, швидкість поширення хвилі зу рівнянні (2.3) є швидкість переміщення фази, у зв'язку з чим її називають фазовою швидкістю . Відповідно до (2.5) dx/dt> 0. Отже, рівняння (2.3) визначає хвилю, що поширюється у бік зростання х, так звану біжить прогресивну хвилю . Хвиля, що розповсюджується у протилежному напрямку, описується рівнянням

і називається бігучою регресивною хвилею . Дійсно, прирівнявши константі фазу хвилі (2.6) і продиференціювавши рівність, прийдемо до співвідношення:

з якого випливає, що хвиля (2.6) поширюється у бік спадання х.

Введемо величину

яка називається хвильовим числом і дорівнює кількості довжин хвиль, що укладаються на інтервалі 2? метрів. За допомогою формул λ = з/νі ω = 2π ν хвильове число можна у вигляді

(2.8)

Розкривши дужки у формулах (2.3) і (2.6) і взявши до уваги (2.8), прийдемо до наступного рівняння плоских хвиль, що розповсюджуються вздовж (знак «-») та проти (знак «+») осі 0 х:

При виведенні формул (2.3) і (2.6) передбачалося, що амплітуда коливань залежить від х. Для плоскої хвилі це спостерігається у тому випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. Досвід показує, що в поглинаючому середовищі інтенсивність хвилі в міру віддалення від джерела коливань поступово зменшується – спостерігається згасання хвилі за експоненційним законом:

.

Відповідно, рівняння плоскої загасаючої хвилі має вигляд:

де A 0 – амплітуда у точках площини х= 0, а γ - Коефіцієнт згасання.

Тепер знайдемо рівняння сферичної хвилі . Будь-яке реальне джерело хвиль має деяку протяжність. Однак якщо обмежитися розглядом хвилі на відстанях від джерела, багато його розмірів, то джерело можна вважати точковим . В ізотропному та однорідному середовищі хвиля, що породжується точковим джерелом, буде сферичною. Припустимо, що фаза коливань джерела ωt+α. Тоді крапки, що лежать на хвильовій поверхні радіусу r, коливатимуться з фазою

Амплітуда коливань у разі, навіть якщо енергія хвилі не поглинається середовищем, постійної не залишиться – вона зменшується залежно від відстані джерела за законом 1/ r. Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд:

(2.11)

де А- Постійна величина, чисельно рівна амплітуді коливань на відстані від джерела, що дорівнює одиниці.

Для поглинаючого середовища (2.11) потрібно додати множник e - γr. Нагадаємо, що в силу зроблених припущень рівняння (2.11) справедливе лише для r, що значно перевищують розміри джерела коливань. При прагненні rдо нуля амплітуда звертається до нескінченності. Цей абсурдний результат пояснюється незастосовністю рівняння (2.11) для малих r.