У цій статті докладно зупинимося на понятті векторного твору двох векторів. Ми дамо необхідні визначення, запишемо формулу для знаходження координат векторного твору, перерахуємо та обґрунтуємо його властивості. Після цього зупинимося на геометричному сенсі векторного твору двох векторів та розглянемо рішення різних характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення векторного твору.

Перш ніж дати визначення векторного твору, розберемося з орієнтацією впорядкованої трійки векторів у тривимірному просторі.

Відкладемо вектори від однієї точки. Залежно від напрямку вектора, трійка може бути правою або лівою. Подивимося з кінця вектора те що, як відбувається найкоротший поворот від вектора до . Якщо найкоротший поворот відбувається проти годинникової стрілки, то трійка векторів називається правою, в іншому випадку - лівий.

Тепер візьмемо два не колінеарні вектори і . Відкладемо від точки А вектори та . Побудуємо деякий вектор, перпендикулярний одночасно та й. Вочевидь, що з побудові вектора ми можемо вчинити подвійно, поставивши йому або одне напрям, або протилежне (дивіться ілюстрацію).

В залежності від напрямку вектора впорядкована трійка векторів може бути правою або лівою.

Так ми впритул підійшли до визначення векторного твору. Воно дається двох векторів, заданих у прямокутної системі координат тривимірного простору.

Визначення.

Векторним твором двох векторіві , заданих у прямокутній системі координат тривимірного простору, називається такий вектор, що

Векторний твір векторів і позначається як .

Координати векторної праці.

Зараз дамо друге визначення векторного твору, яке дозволяє знаходити його координати за координатами заданих векторів.

Визначення.

У прямокутній системі координат тривимірного простору векторний твір двох векторів і є вектор , де координатні вектори.

Це визначення дає нам векторний твір у координатній формі.

Векторний твір зручно представляти у вигляді визначника квадратної матриці третього порядку, перший рядок якої є орти, у другому рядку знаходяться координати вектора, а в третьому – координати вектора у заданій прямокутній системі координат:

Якщо розкласти цей визначник за елементами першого рядка, то отримаємо рівність з визначення векторного твору в координатах (за необхідності звертайтеся до статті):

Слід зазначити, що координатна форма векторного твору повністю узгоджується з визначенням у першому пункті цієї статті. Більше того, ці два визначення векторного твору є еквівалентними. Доказ цього факту можете переглянути у книзі, вказаній наприкінці статті.

Властивості векторного твору.

Так як векторний твір в координатах представимо у вигляді визначника матриці, то на підставі легко обґрунтовуються наступні властивості векторного твору:

Наприклад, доведемо властивість антикомутативності векторного твору.

За визначенням і . Нам відомо, що значення визначника матриці змінюється на протилежне, якщо переставити місцями два рядки. , що доводить властивість антикомутативності векторного твору

Векторний твір – приклади та рішення.

Здебільшого зустрічаються три типи завдань.

У задачах першого типу задані довжини двох векторів та кут між ними, а потрібно знайти довжину векторного твору. У цьому випадку використовується формула .

приклад.

Знайдіть довжину векторного твору векторів і якщо відомо .

Рішення.

Ми знаємо з визначення, що довжина векторного твору векторів дорівнює твору довжин векторів і на синус кута між ними, тому, .

Відповідь:

.

Завдання другого типу пов'язані з координатами векторів, у яких векторний твір, його довжина чи ще шукається через координати заданих векторів і .

Тут можлива безліч різних варіантів. Наприклад, може бути задані не координати векторів і , які розкладання по координатним векторам виду і вектори і можуть бути задані координатами точок їх початку і кінця.

Розглянемо характерні приклади.

приклад.

У прямокутній системі координат задані два вектори . Знайдіть їхній векторний твір.

Рішення.

За другим визначенням векторний добуток двох векторів у координатах записується як:

До такого ж результату ми дійшли б, якби векторний твір записали через визначник

Відповідь:

.

приклад.

Знайдіть довжину векторного добутку векторів і , де - орти прямокутної декартової системи координат.

Рішення.

Спершу знайдемо координати векторного твору у заданій прямокутній системі координат.

Так як вектори мають координати і відповідно (при необхідності дивіться статтю координати вектора в прямокутній системі координат), то за другим визначенням векторного твору маємо

Тобто, векторний твір має координати у заданій системі координат.

Довжину векторного твору знаходимо як квадратний корінь із суми квадратів його координат (цю формулу довжини вектора ми отримали в розділі знаходження довжини вектора):

Відповідь:

.

приклад.

У прямокутній декартовій системі координат задані координати трьох точок. Знайдіть якийсь вектор, перпендикулярний і одночасно.

Рішення.

Вектори мають координати і відповідно (дивіться статтю знаходження координат вектора через координати точок). Якщо знайти векторний твір векторів і , то воно є вектором, перпендикулярним і к і к , тобто, є рішенням нашої задачі. Знайдемо його

Відповідь:

- один із перпендикулярних векторів.

У задачах третього типу перевіряється навичка використання властивостей векторного добутку векторів. Після застосування властивостей застосовуються відповідні формули.

приклад.

Вектори перпендикулярні і їх довжини рівні відповідно 3 і 4 . Знайдіть довжину векторного твору .

Рішення.

За якістю дистрибутивності векторного твору ми можемо записати

В силу комбінаційної властивості винесемо числові коефіцієнти за знак векторних творів в останньому виразі:

Векторні твори і дорівнюють нулю, тому що і тоді .

Оскільки векторне твір антикоммутативно, то .

Отже, за допомогою властивостей векторного твору ми дійшли рівності .

За умовою вектори перпендикулярні, тобто кут між ними дорівнює . Тобто, ми маємо всі дані для знаходження необхідної довжини

Відповідь:

.

Геометричний зміст векторного твору.

За визначенням довжина векторного добутку векторів дорівнює . А з курсу геометрії середньої школи нам відомо, що площа трикутника дорівнює половині добутку довжин двох сторін трикутника на синус кута між ними. Отже, довжина векторного добутку дорівнює подвоєної площі трикутника, що має сторонами вектори і якщо їх відкласти від однієї точки. Іншими словами, довжина векторного твору векторів і дорівнює площі паралелограма зі сторонами та кутом між ними, рівним . У цьому полягає геометричне значення векторного твору.

На цьому уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві змішаний твір векторів (відразу посилання, кому потрібне саме воно). Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твору векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. У цьому розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий – навряд чи складніше, ніж те саме скалярний добуток, навіть типових завдань буде менше. Головне в аналітичній геометрії, як багато хто переконається чи вже переконався, НЕ ПОМИЛИТИСЯ У ВИЧИСЛЕННЯХ. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя.

Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, щоб відновити або знов придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть ознайомлюватися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються у практичних роботах

Чим вас одразу порадувати? Коли я був маленьким, то умів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати не доведеться взагалі, оскільки ми розглядатимемо тільки просторові вектори, а плоскі вектори із двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії – векторне та змішане твір векторів визначено та працюють у тривимірному просторі. Вже простіше!

У цій операції, так само, як і в скалярному творі, беруть участь два вектори. Нехай це будуть нетлінні літери.

Сама дія позначаєтьсянаступним чином: . Існують і інші варіанти, але я звик позначати векторний твір векторів саме так, у квадратних дужках із хрестиком.

І відразу питання: якщо в скалярному творі векторівберуть участь два вектори, і тут теж множаться два вектори, тоді у чому різниця? Явна різниця, перш за все, в РЕЗУЛЬТАТІ:

Результатом скалярного твору векторів є:

Результатом векторного твору векторів є ВЕКТОР: , тобто множимо вектори і знову отримуємо вектор. Закритий клуб. Власне, звідси й назва операції. У різній навчальній літературі позначення теж можуть змінюватись, я використовуватиму букву .

Визначення векторного твору

Спочатку буде визначення з картинкою, потім коментарі.

Визначення: Векторним твором неколлінеарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається ВЕКТОР , довжинаякого чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на даних векторах; вектор ортогональний векторам, і спрямований так, що базис має праву орієнтацію:

Розбираємо визначення по кісточках, тут багато цікавого!

Отже, можна назвати такі істотні моменти:

1) Вихідні вектори, позначені червоними стрілками, за визначенням не колінеарні. Випадок колінеарних векторів доречно буде розглянути трохи пізніше.

2) Вектори взяті у строго визначеному порядку: – "а" множиться на "бе", а чи не «бе» на «а». Результатом множення векторівє Вектор, який позначений синім кольором. Якщо вектори помножити у зворотному порядку, то отримаємо рівний за довжиною та протилежний у напрямку вектор (малиновий колір). Тобто справедливо рівність .

3) Тепер познайомимося із геометричним змістом векторного твору. Це надзвичайно важливий пункт! ДОВжина синього вектора (а, отже, і малинового вектора) чисельно дорівнює ПЛОЩІ паралелограма, побудованого на векторах. На малюнку цей паралелограм заштрихований чорним кольором.

Примітка : креслення є схематичним, і, природно, номінальна довжина векторного твору не дорівнює площі паралелограма.

Згадуємо одну з геометричних формул: площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними. Тому, виходячи з вищесказаного, справедлива формула обчислення ДОВЖИНИ Векторного твору:

Підкреслюю, що у формулі йдеться про ДОВЖИНУ вектора, а не про сам вектор. Який практичний зміст? А сенс такий, що завдання аналітичної геометрії площа паралелограма часто знаходять через поняття векторного произведения:

Отримаємо другу важливу формулу. Діагональ паралелограма (червоний пунктир) ділить його на два рівні трикутники. Отже, площа трикутника, побудованого на векторах (червоне штрихування), можна знайти за формулою:

4) Не менш важливий факт полягає в тому, що вектор ортогональний векторам, тобто . Зрозуміло, протилежно спрямований вектор (малинова стрілка) теж ортогональний вихідним векторам.

5) Вектор спрямований так, що базисмає правуорієнтацію. На уроці про переході до нового базисуя досить докладно розповів про орієнтації площиниі зараз ми розберемося, що таке орієнтація простору. Пояснювати буду на ваших пальцях правої руки. Подумки поєднайте вказівний палецьз вектором і середній палецьз вектором. Безіменний палець та мізинецьпритисніть до долоні. В результаті великий палець- Векторний твір дивитися вгору. Це і є правоорієнтований базис (на малюнку саме він). Тепер поміняйте вектори ( вказівний та середній пальці) місцями, в результаті великий палець розгорнеться, і векторний твір уже дивитиметься вниз. Це також правоорієнтований базис. Можливо, у вас виникло питання: а який базис має ліву орієнтацію? "Привласніть" тим же пальцям лівої рукивектори , і отримайте лівий базис і ліву орієнтацію простору (у цьому випадку великий палець розташується у напрямку нижнього вектора). Образно кажучи, ці базиси «закручують» або орієнтують простір у різні боки. І це поняття не слід вважати чимось надуманим чи абстрактним – так, наприклад, орієнтацію простору змінює звичайнісіньке дзеркало, і якщо «витягнути відбитий об'єкт із дзеркалля», то його в загальному випадку не вдасться поєднати з «оригіналом». До речі, піднесіть до дзеркала три пальці та проаналізуйте відображення;-)

…як все-таки добре, що ви тепер знаєте про право- та лівоорієнтованихбазисах, бо страшні висловлювання деяких лекторів про зміну орієнтації =)

Векторний твір колінеарних векторів

Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли колінеарні вектори. Якщо вектори колінеарні, то їх можна розташувати на одній прямій і наш паралелограм теж складається в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженогоПаралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180 градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова

Таким чином, якщо , то і . Зверніть увагу, що саме векторний добуток дорівнює нульовому вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що він також дорівнює нулю.

Окремий випадок – векторний твір вектора на самого себе:

За допомогою векторного твору можна перевіряти колінеарність тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.

Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрична таблиця, щоб шукати значення синусів.

Ну що ж, розпалюємо вогонь:

Приклад 1

а) Знайти довжину векторного твору векторів, якщо

б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо

Рішення: Ні, це не друкарська помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень відрізнятиметься!

а) За умовою потрібно знайти довжинувекторні (векторного твору). За відповідною формулою:

Відповідь:

Якщо питалося про довжину, то відповіді показуємо розмірність – одиниці.

б) За умовою потрібно знайти площапаралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного твору:

Відповідь:

Зверніть увагу, що у відповіді про векторний витвір не йдеться взагалі, нас запитували про площі фігуривідповідно розмірність - квадратні одиниці.

Завжди дивимося, що потрібно знайти за умовою, і, виходячи з цього, формулюємо чіткийвідповідь. Може здатися буквоїдством, але літероїдів серед викладачів вистачає, і завдання з добрими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча це не особливо натягнута причіпка - якщо відповідь некоректна, то складається враження, що людина не розуміється на простих речах і/або не вникла в суть завдання. Цей момент завжди потрібно тримати на контролі, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики та й з інших предметів теж.

Куди поділася велика літера «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити до рішення, але з метою скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і це позначення одного і того ж.

Популярний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах , якщо

Формула знаходження площі трикутника через векторний добуток дана в коментарях до визначення. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Насправді завдання справді дуже поширена, трикутниками взагалі можуть закатувати.

Для вирішення інших завдань нам знадобляться:

Властивості векторного твору векторів

Деякі властивості векторного твору ми вже розглянули, проте я їх включу до цього списку.

Для довільних векторів та довільного числа справедливі такі властивості:

1) В інших джерелах інформації цей пункт зазвичай не виділяють у властивостях, але він дуже важливий у практичному плані. Тож нехай буде.

2) - Властивість теж розібрано вище, іноді його називають антикомутативністю. Інакше кажучи, порядок векторів має значення.

3) - сполучні або асоціативнізакони векторної праці. Константи безпроблемно виносяться за межі векторного твору. Справді, чого їм робити?

4) - розподільні або дистрибутивнізакони векторної праці. З розкриттям дужок також немає проблем.

Як демонстрацію розглянемо коротенький приклад:

Приклад 3

Знайти , якщо

Рішення:За умовою знову потрібно знайти довжину векторного твору. Розпишемо нашу мініатюру:

(1) Згідно з асоціативними законами, виносимо константи за межі векторного твору.

(2) Виносимо константу межі модуля, у своїй модуль «з'їдає» знак «мінус». Довжина ж може бути негативною.

(3) Подальше зрозуміло.

Відповідь:

Настав час підкинути дров у вогонь:

Приклад 4

Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах , якщо

Рішення: Площа трикутника знайдемо за формулою . Загвоздка у тому, що вектори «це» і «де» самі представлені як сум векторів. Алгоритм тут стандартний і чимось нагадує приклади №3 та 4 уроку Скалярне твір векторів. Рішення для ясності розіб'ємо на три етапи:

1) На першому кроці висловимо векторний твір через векторний твір, по суті, виразимо вектор через вектор. Про довжини поки що ні слова!

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Використовуючи дистрибутивні закони, розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів.

(3) Використовуючи асоціативні закони, виносимо всі константи за межі векторних творів. При малому досвіді дії 2 і 3 можна виконувати одночасно.

(4) Перше та останнє доданок дорівнює нулю (нульовому вектору) завдяки приємній властивості. У другому доданку використовуємо властивість антикомутативності векторного твору:

(5) Наводимо подібні доданки.

В результаті вектор виявився через вектор, чого і потрібно досягти:

2) На другому етапі знайдемо довжину необхідного нам векторного твору. Ця дія нагадує Приклад 3:

3) Знайдемо площу шуканого трикутника:

Етапи 2-3 рішення можна було оформити і одним рядком.

Відповідь:

Розглянуте завдання досить поширене у контрольних роботах, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти , якщо

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку. Подивимося, наскільки ви були уважні щодо попередніх прикладів;-)

Векторний твір векторів у координатах

, заданих в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Формула і правда простецька: у верхній рядок визначника записуємо координатні вектори, у другий і третій рядки «укладаємо» координати векторів, причому укладаємо у строгому порядку- Спершу координати вектора "ве", потім координати вектора "дубль-ве". Якщо вектори потрібно помножити в іншому порядку, то рядки слід поміняти місцями:

Приклад 10

Перевірити, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:
а)
б)

Рішення: Перевірка заснована на одному із тверджень даного уроку: якщо вектори колінеарні, то їхній векторний добуток дорівнює нулю (нульовому вектору): .

а) Знайдемо векторний твір:

Таким чином, вектори не колінеарні.

б) Знайдемо векторний твір:

Відповідь: а) не колінеарні; б)

Ось, мабуть, і всі основні відомості про векторні твори векторів.

Цей розділ буде невеликим, оскільки завдань, де використовується змішане твір векторів, небагато. Практично все буде впиратися у визначення, геометричний зміст і кілька робочих формул.

Змішаний твір векторів – це твір трьох векторів:

Ось так вони вишикувалися паровозиком і чекають, не дочекаються, коли їх обчислять.

Спочатку знову визначення та картинка:

Визначення: Змішаним твором некомпланарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається обсяг паралелепіпеда, побудованого на даних векторах, з знаком «+», якщо базис правий, і знаком «–», якщо базис лівий.

Виконаємо малюнок. Невидимі нам лінії прокреслені пунктиром:

Занурюємося у визначення:

2) Вектори взяті у певному порядку, тобто перестановка векторів у творі, як ви здогадуєтеся, не минає без наслідків.

3) Перед тим, як прокоментувати геометричний зміст, зазначу очевидний факт: змішаний твір векторів є ЧИСЛОМ: . У навчальній літературі оформлення може бути дещо іншим, я звик позначати змішане твір через , а результат обчислень літерою «пе».

За визначенням змішаний твір – це обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах (фігура прокреслена червоними векторами та лініями чорного кольору). Тобто число дорівнює обсягу даного паралелепіпеда.

Примітка : креслення є схематичним.

4) Не заново паритися з поняттям орієнтації базису та простору. Сенс заключної частини у тому, що до обсягу може додаватися знак мінус. Простими словами, змішане твір може бути негативним: .

Безпосередньо з визначення слідує формула обчислення об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах.

Контрольна робота №1

Вектор. Елементи вищої алгебри

1-20. Відомі довжини векторів та; - Кут між цими векторами.

Обчислити: 1) і, 2). 3) Знайти площу трикутника, побудованого на векторах і.

Зробити креслення.

Рішення. Використовуючи визначення скалярного твору векторів:

І властивості скалярного твору: ,

1) знаходимо скалярний квадрат вектора:

тобто, тоді .

Розмірковуючи аналогічно, отримуємо

тобто, тоді .

За визначенням векторного твору:

з урахуванням того що

Площа трикутника побудованого на векторах і дорівнює

21-40. Відомі координати трьох вершин A, B, Dпаралелограма ABCD. Засобами векторної алгебри потрібно:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Рішення.

Відомо, що діагоналі паралелограма у точці перетину діляться навпіл. Тому координати точки E- перетину діагоналей - знайдемо як координати середини відрізка BD. Позначаючи їх через x E ,y E , z Eотримаємо, що

Отримуємо.

Знаючи координати точки E- середини діагоналі BDта координати одного з його кінців A(3;0;-7), за формулами визначаємо шукані координати вершини Зпаралелограма:

Отже, вершина.

2) Щоб знайти проекцію вектора на вектор, знайдемо координати цих векторів:

аналогічно. Проекцію вектора на вектор, знаходимо за формулою:

3) Кут між діагоналями паралелограма знаходимо як кут між векторами

І за якістю скалярного твору:

тоді

4) Площу паралелограма знаходимо як модуль векторного твору:

5) Обсяг піраміди знаходимо як одну шосту модуля змішаного твору векторів , де О(0; 0; 0), тоді

Тоді потрібний обсяг (куб.од.)

41-60. Дані матриці:

В·С -1 +3A T

Позначення:

Спочатку знаходимо зворотну матрицю до матриці.

Для цього знаходимо її визначник:

Визначник відмінний від нуля, отже, матриця є невироджена і для неї можна знайти зворотну матрицю С -1

Знайдемо алгебраїчні доповнення за формулою , де мінор елемента :

Тоді,.

61–80. Розв'яжіть систему лінійних рівнянь:

методом Крамера; 2. Матричним способом.

Рішення.

а) метод Крамера

Знайдемо визначник системи

Оскільки , то система має єдине рішення.

Знайдемо визначники і, замінивши в матриці коефіцієнтів відповідно перший, другий, третій стовпці вільних членів.

За формулами Крамера:

б)матричний метод (за допомогою зворотної матриці).

Дану систему запишемо в матричній формі та вирішимо за допомогою зворотної матриці.

Нехай А– матриця коефіцієнтів за невідомих; X- матриця-стовпець невідомих x, y, zі Н- матриця-стовпець із вільних членів:

Ліву частину системи (1) можна записати у вигляді твору матриць, а праву у вигляді матриці Н. Отже маємо матричне рівняння

Оскільки визначник матриці Авідмінний від нуля (пункт "а"), то матриця Амає зворотну матрицю. Помножимо обидві частини рівності (2) зліва на матрицю , отримаємо

Бо , де Е- Поодинока матриця, а , то

Нехай маємо невироджену матрицю А:

Тоді зворотну матрицю знаходимо за формулою:

де A ij- алгебраїчне доповнення елемента a ijу визначнику матриці А, яке є твором (-1) i+j на мінор (визначник) n-1порядку, отриманого викреслюванням i-йрядки та j-гостовпця в визначнику матриці А:

Звідси отримуємо зворотну матрицю:

Стовпець X: X=A -1 H

81–100. Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Рішення. Запишемо систему у вигляді розширеної матриці:

Виконуємо елементарні перетворення з рядками.

З 2-го рядка віднімаємо перший рядок, помножений на 2. З рядка 3 віднімаємо перший рядок, помножений на 4. З рядка 4 віднімаємо перший рядок, отримуємо матрицю:

Далі отримуємо нуль у першому стовпці наступних рядків, для цього з другого рядка віднімаємо третій рядок. З третього рядка віднімаємо другий рядок, помножений на 2. З четвертого рядка віднімаємо другий рядок, помножений на 3. У результаті отримуємо матрицю виду:

З четвертого рядка віднімаємо третій.

Поміняємо місцями передостанній та останній рядки:

Остання матриця рівносильна системі рівнянь:

З останнього рівняння системи знаходимо.

Підставляючи у передостаннє рівняння, отримуємо .

З другого рівняння системи випливає, що

З першого рівняння знаходимо х:

Відповідь:

Контрольна робота №2

Аналітична геометрія

1-20. Дано координати вершин трикутника АВС.Знайти:

1) довжину сторони AВ;

2) рівняння сторін АВі НДта їх кутові коефіцієнти;

3) кут Ву радіанах з точністю до двох знаків;

4) рівняння висоти CDта її довжину;

5) рівняння медіани АЕ

заввишки CD;

Допаралельно стороні АВ,

7) зробити креслення.

А(3;6), В(15;-3), С(13;11)

Рішення.

Застосовуючи (1), знаходимо довжину сторони АВ:

2) рівняння сторін АВі НДта їх кутові коефіцієнти:

Рівняння прямої, що проходить через точки і має вигляд

Підставляючи (2) координати точок Аі В, отримаємо рівняння сторони АВ:

(АВ).

(BC).

3) кут Ву радіанах з точністю до двох знаків.

Відомо, що тангенс кута між двома прямими, кутові коефіцієнти, яких відповідно рівні та обчислюється за формулою

Шуканий кут Вутворений прямими АВі НД, Кутові коефіцієнти яких знайдені: ; . Застосовуючи (3), отримаємо

; , або

4) рівняння висоти CDта її довжина.

Відстань від точки С до прямої АВ:

5) рівняння медіани АЕта координати точки До перетину цієї медіани з

заввишки CD.

середина сторони ПС:

Тоді рівняння АЕ:

Вирішуємо систему рівнянь:

6) рівняння прямої, що проходить через точку Допаралельно стороні АВ:

Оскільки шукана пряма паралельна стороні АВ, то її кутовий коефіцієнт дорівнюватиме кутовому коефіцієнту прямої АВ. Підставивши в (4) координати знайденої точки Доі кутовий коефіцієнт , отримаємо

; (KF).

Площа паралелограма дорівнює 12 кв. од., дві його вершини – точки А(-1;3)і (-2;4).Знайти дві інші вершини цього паралелограма, якщо відомо, що точка перетину його діагоналей лежить на осі абсцис. Зробити креслення.

Рішення. Нехай точка перетину діагоналей має координати.

Тоді очевидно, що і

отже, координати векторів .

Площа паралелограма знаходимо за формулою

Тоді координати двох інших вершин.

У задачах 51-60 дані координати точок А і В. Потрібно:

Скласти канонічне рівняння гіперболи, що проходить через ці точки А і В,якщо фокуси гіперболи розташовані на осі абсцис;

Знайти півосі, фокуси, ексцентриситет і рівняння асимптот цієї гіперболи;

Знайти всі точки перетину гіперболи з колом з центром на початку координат, якщо це коло проходить через фокуси гіперболи;

Побудувати гіперболу, її асимптоти та коло.

А(6;-2), В(-8;12).

Рішення. Рівняння гіперболи в канонічному вигляді записується

де a- дійсна піввісь гіперболи, b -уявна піввісь. Підставляючи координати точок Аі Ву це рівняння знайдемо ці півосі:

- Рівняння гіперболи: .

Півосі а=4,

фокусна відстань Фокуси (-8,0) та (8,0)

Ексцентриситет

Асиптоти:

Якщо коло проходить через початок координат, його рівняння

Підставляючи один з фокусів, знаходимо і рівняння кола

Знаходимо точки перетину гіперболи та кола:

Будуємо креслення:

У задачах 61-80 побудувати графік функції в полярній системі координат по точках, надаючи значення  через проміжок  /8 (0   2). Знайти рівняння лінії прямокутної декартової системі координат (позитивна піввісь абсцис збігається з полярною віссю, а полюс – з початком координат).

Рішення.Побудуємо лінію за точками, попередньо заповнивши таблицю значень та φ.

Номер	φ ,	φ, градуси			Номер	φ , радий	градуси
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 робимо висновок, що це рівняння визначає еліпс: Дані точки А,В , З, D . Потрібно знайти: 1. Рівняння площини (Q), проходить через крапки А, В, С Dу площині (Q); 2. Рівняння прямої (I),проходить через крапки Вта D; 3. Кут між площиною (Q)і прямий (I); 4. Рівняння площини (Р),проходить через точку Аперпендикулярно до прямої (I); 5. Кут між площинами (Р)і (Q) ; 6. Рівняння прямої (т),проходить через точку Ау напрямі її радіус-вектора; 7. Кут між прямими (I)і (Т). А(9;-8;1), В(-9;4;5), С(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Рівняння площини (Q), проходить через крапки А, В, Сі перевірити, чи лежить точка Dу площині визначається за формулою Знайти: 1). 2) Площапаралелограма, збудованого наі. 3) Об'єм паралелепіпеда, збудованого на векторах, і. Контрольна роботапо темі " Елементитеорії лінійних просторів... Методичні рекомендації щодо виконання контрольних робіт для бакалаврату заочної форми навчання за кваліфікацією 080100. 62 у напрямку Методичні рекомендації Паралелепіпеда та обсяг піраміди, побудованих на векторах, і. Рішення: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4.ЗАДАЧІ ДЛЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБОТРозділ I. Лінійна алгебра. 1 - 10. Дана...